Revistes Catalanes amb Accés Obert (RACO)

Gauss i el polígon de 17 costats

Agustí Reventós i Tarrida

Resum


En aquest article volem posar de manifest la
importància històrica de la construcció amb regle i
compàs del polígon de 17 costats, problema al
qual Gauss dedicà el primer treball que va
publicar. Veurem com el mateix procediment
seguit en aquest cas, que consisteix a agrupar les
arrels d?un polinomi de grau 17 − 1 = 16 en dos
grups de vuit arrels, i aquests dos grups tornar-los
a dividir en dos, iterant el procediment fins arribar
a vuit grups de dos arrels cadascun, es pot
generalitzar a la construcció de polígons regulars
de n costats sempre que n − 1 sigui una
potència de dos. A partir d?aquí es veu fàcilment
que si a la descomposició en factors primers de n
només apareixen potències de dos o primers de
Fermat, el polígon regular de n costats es pot
construir amb regle i compàs.
El recíproc, que Gauss dóna sense demostració, és
coneix avui dia com a teorema deWantzel. En un
apèndix donem una demostració d?aquest
teorema on apareixen extensions de cossos i
polinomismínims, dos dels ingredients bàsics de
la teoria de Galois.

Text complet: Text complet