Revistes Catalanes amb Accés Obert (RACO)

Curvas alabeadas de anchura afin constante

Juan Sancho de San Román

Resum


DEFINICIÓN 1: Dados dos arcos $\Gamma$ y $\Gamma_1$ , regulares con torsión positiva en cada punto, llamaremos distancia afin de un punto $P$ de $\Gamma$ a un punto $P_1$ de $\Gamma_1$, al volumen definido por los tres vectores siguientes: vector tangente afin de $\Gamma$ en $P$, tangente afin de $\Gamma_1$, en $P_1$, y vector $PP_1$.
DEFINICIÓN 2: Si la distancia afin de $P$ a los puntos de $\Gamma_1$, pasa por un máximo, y éste es constante, cualquiera que sea $P$ sobre $\Gamma$, diremos que $\Gamma$ y $\Gamma_1$, constituyen una pareja afin de curvas.
En una pareja afin, se tiene:
CONCLUSIÓN 1: Si es $P_1$ el punto de $\Gamma$, que está a la máxima distancia afín de $P$ , éste es el punto de $\Gamma$ que tiene igual propiedad respecto de $P$.
CONCLUSIÓN 2: La normal principal y la tangente afines de $\Gamma$ en $P$, cortan, respectivamente, a la tangente y la normal afines de $\Gamma_1$, en $P_1$.
CONCLUSIÓN 3: Es condición necesaria y suficiente, para que los arcos $\Gamma$ y $\Gamma_1$ constituyan una pareja afin, que si es $P_1$, el punto de $\Gamma_1$que esta a la máxima distancia afin de $P$, su tangente afín corte a la normal principal afin de \Gamma en $P$.
CONCLUSIÓN 4: Siempre existen curvas que forman con una dada, una pareja afin.
Curvas alabeadas cerradas:
DEFINiCIÓN 3: Dada una curva regular cerrada $C$, con torsión positiva en cada punto, llamamos anchura afin de la curva en un punto $P$ de ella, al máximo valor de la distancia afin de $P$ a cada uno de los demás puntos de $C$.
DEFINICIÓN 4: Diremos curva alaheada de anchura afín constante, a una del tipo anterior, que cumpla además la condición de tener la anchura afin en cada punto, constante.

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