Revistes Catalanes amb Accés Obert (RACO)

Sobre una sèrie de Goldbach i Euler

Lluís Bibiloni i Matos, Pelegrí Viader i Canals, Jaume Paradís

Resum


El teorema 1 de l'article d'Euler «Variae observationes circa series infinitas»,
publicat el 1737, enuncia un resultat sorprenent: la sèrie dels recíprocs de les potències
enteres menys la unitat té suma 1. Euler atribueix el teorema a Goldbach. La
demostració que ofereix és un dels exemples tan freqüents als segles xvii i xviii
de mal ús d'una sèrie divergent que acaba produint un resultat correcte. Examinem
amb detall la demostració d'Euler i, amb l'ajut de les intuïcions que ens proporciona
una demostració moderna (i totalment diferent), presentem una reconstrucció racional
en termes que es podrien considerar rigorosos per als estàndards weierstrassians
moderns. Al mateix temps, amb l'ajut d'algunes idees de l'anàlisi no estàndard, veiem
com la mateixa reconstrucció també es pot considerar correcta per als estàndards
robinsonians moderns. Aquest últim enfocament, però, s'adiu completament amb la
demostració d'Euler i de Goldbach. Esperem, doncs, convèncer el lector de com unes
poques idees d'anàlisi no estàndard són suficients per reivindicar el treball d'Euler.

Text complet: PDF